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函数构造!函数重构技巧在不等式证明中的应用

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(河南省开封市第二实验高中)

摘 要:构造函数证明不等式是不等式证明的重要方法,但直接构造往往不能奏效,需要重新构造函数.探讨等价重构、缩放重构、整体重构和再次重构等四种技巧.

  关键词:等价重构;缩放重构;整体重构;再次重构

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构造函数证明不等式是不等式证明的重要方法,是近几年高考的热点;但学生在用这种方法时,往往因为初次构造函数不得当而无法解决,这就需要重新构造函数,本文就一些重构技巧做深入的探讨.

构造函数法证明不等式的原理是:欲证f(x)>,g(x),只需证f(x)-g(x)>,0,构造函数h(x)等于f(x)-g(x),只需证h(x)的最小值(或下界)大于零即可.先看一个简单问题:

例1:求证x∈R时,ex>,2x.

解:构造函数f(x)=ex-2x.则f′(x)等于ex-2

显然x等于ln2时f′(x)等于0,x∈(-∞,ln2)时,f′(x)<,0,函数单调递减,x∈(ln2,+∞)时,f′(x)>,0,函数单调递增,所以x等于ln2是极小值点,也是最小值点,所以f(x)=ex-2x≥f(ln2)等于2-2ln2>,0,ex>,2x.

但是这种直接构造函数的方法有时却不奏效.

这种等价重构在很多情况下都能奏效,有时通过移项、通分、同乘以或除以一个数、取对数等都可使重新构造的函数更易解.但任何方法都不是万能的,下面介绍技巧二:缩放重构,即将原来的不等式经过适当的缩放后重构.

例3:已知函数f(x)等于ex-ln(x+m).当m≤2时,证明f(x)>,0.(节选自2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理)

这是利用一个变量的范围缩放的,还有很多高考大题常在第一问证明一个不等式,在第二问用该式进行缩放重构.这里不再赘述.

有时我们会碰到一个不等式中有两个变量,该怎么办呢?这用到技巧三:整体重构,即通过适当变形将两个变量的加减乘除等看成一个整体进行重新构造.

以上分析了等价重构、缩放重构、整体重构和再次重构等四种技巧,这些技巧不仅用于不等式证明中的函数构造,也能用于其他部分中的函数构造,望大家深入研究,定可破解很多数学难题,使数学学习更上一层楼!

拓胜教育_陈乔_Java基础教程16_函数构造方法的重载 视频时长:07:38 拓胜教育_陈乔_Java基础教程16_函数构造方法的重载 播放:19309次 评论:11570人

编辑 郭晓云

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