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简单!关于大学课程学习中梯度、散度和旋度的简单

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摘 要:大学生常常被学习中遇到梯度、散度和旋度的问题困扰,本文针对这几个问题进行了简单解析,首先对它们的数学概念、表达方法以及对应的物理含义进行了概括,明确梯度、散度和旋度的区别,然后对学习中遇到的具体问题进行了由表及里地分析、概括和总结,从而加深对这三个问题的理解.

关键词:梯度 散度 旋度 标量函数 矢量函数

中图分类号:G642  文献标识码:A    文章编号:1003-9082(2017)10-0116-01

一、梯度、散度和旋度的概念及意义

1 梯度

设体系中某处存在某一物理参数(如温度、速度、浓度等标量)为w,在与其垂直距离为dy处该参数为W+dW,则称为该物理参数的梯度 ,也即该物理参数的变化率.如果参数为速度、浓度或温度,则分别称为速度梯度、浓度梯度或温度梯度.在向量微积分中,标量场的梯度是一个向量场,标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向,梯度的长度是这个最大的变化率.更严格的说,从欧氏空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似.在这个意义上,梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况,在单变量的实值函数的情况下,梯度只是导数,或者,对于一个线性函数,也就是线的斜率.梯度一词有时用于斜度,也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度或者说某个物理量的方向导数.

2 散度

二、梯度、散度和旋度的区别

对于初学这些概念的人来讲,对于散度和旋度的理解仅仅限于数学的层面,往往忽略了他们在物理学里的区别.

(1)求梯度是针对一个标量函数,求梯度的结果是得到一个矢量函数;求散度则是针对一个矢量函数,得到的结果是一个标量函数,跟求梯度是相反的;求旋度是针对一个矢量函数,得到的还是一个矢量函数.这三种关系可以从定义式很直观地看出,因此可以求“梯度的散度”、“散度的梯度”、“梯度的旋度”、“旋度的散度”和“旋度的旋度”,只有旋度可以连续作用两次.

(2)旋度描述的是矢量场中各点的场量与涡旋源的关系,而散度描述的是矢量场中各点的场量与通量源的关系;

(3)如果矢量场所在的全部空间中,场的旋度处处为零,则这种场中不可能存在旋涡源,因而称之为无旋场(或保守场);如果矢量场所在的全部空间中,场的散度处处为零,则这种场中不可能存在通量源,因而称之为无源场(或管形场);

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(4)在旋度公式中,矢量场的场分量Mx、My、Mz分别只对与其垂直方向的坐标变量求偏导数,所以矢量场的旋度描述的是场分量在与其垂直的方向上的变化规律;

(5)在散度公式中,矢量场的场分量Mx、My、Mz分别只对x、y、z求偏导数,所以矢量场的散度描述的是场分量沿着各自方向上的变化规律.

三、梯度、散度和旋度在物理学中的应用

对于梯度、散度和旋度的深入理解,还要落实在物理学的学习中,常见于电磁场部分.以电场为例,按着它产生的原因分为静电场和感生电场,静电场是静止电荷产生的,而感生电场是变化的磁场产生的.在静电场中,静电场既然是静止电荷产生的,电场线起于正电荷终止于负电荷,电场线有头有尾,那么它一定是有源的,即它对应的散度不为零,

通过上面简单分析,对于我们学习中的遇到的梯度、散度和旋度的概念一定会有所帮助,因为事物是普遍联系的,数学中有物理,物理中包含数学.所以我们在今后的学习中,不能简单地学习某一学科,把它与其他学科割裂开,在学习中要运用哲学的普遍联系的观点辩证地看待我们所学习的知识,才会学的好、学的活、学的精,才能做到学以致用.

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